Proposta Syllabus (Enrico Rogora)

26 Nov 2013 08:54
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Syllabus (Bozza)

Aritmetica
Numeri naturali: somma prodotto e differenza; divisione con resto; massimo comun divisore e minimo comune multiplo; numeri primi e scomposizione in fattori primi.
Numeri interi: somma prodotto, differenza e divisione con resto. L'importanza e la difficolta' del numero zero.
Numeri razionali: operazioni; non unicita' della rappresentazione di un numero razionale come frazione; forma ridotta di una frazione; confronto tra numeri razionali; non esiste un numero razionale il cui quadrato e' uguale e due;
rappresentazione decimale di un numero razionale; decimali finiti e decimali periodici. Rappresentazione dei numeri su una retta con due punti fissati (O e U): procedura per associare un punto ad un numero razionale; procedura per associare una espressione decimale infinita a un punto; ampliamento del campo numerico, considerando le espressioni decimali infinite (con una relazione di equivalenza): numeri reali. Crisi della matematica pitagorica per la scoperta della non commensurabilita' di tutte le coppie di segmenti. Assioma: i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta. Proprieta' delle operazioni sui numeri reali (senza costruzione aritmetica esplicita ma con costruzione geometrica attraverso il prodotto di segmenti). I numeri reali e problemi dell'infinito.
Numeri per contare e numeri per misurare. Incertezza di una misura e rappresentazione del risultato di un misura con un intervallo. Operazioni aritmetiche su misure e propagazione dell'incertezza.
Arrotondamenti e approssimazioni. Potenze (e radici) e proprieta' delle potenze. Notazione scientifica e stime. Ordini di grandezza e logaritmi. Proprietà dei logaritmi.

Combinatoria Disposizioni, combinazioni e permutazioni. Conteggi in insiemi finiti. Proprieta' elementari dei coefficienti binomiali.

Algebra
Manipolazione di espressioni algebriche (polinomiali, razionali e con le radici). Formula per la potenza di un binomio. Concetto di soluzione e di "insieme delle soluzioni" di un'equazione, di una disequazione e di un sistema di equazioni/disequazioni. Interpretazione geometrica. Formule risolutive per le equazioni e disequazioni di primo e secondo grado in una variabile. La ricerca delle formule risolutive delle equazioni algebriche. Algoritmo dicotomico per la ricerca di una soluzione approssimata di un' equazione. Sistemi di due equazioni di primo grado.

Geometria Analitica Sistema di riferimento cartesiano sulla retta e sul piano. Corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti di una retta con riferimento cartesiano. Corrispondenza biunivoca tra coppie di numeri reali e punti di un piano con riferimento cartesiano. Rette e loro equazioni. Significato geometrico di quota e di coefficiente angolare. La stessa equazione corrisponde a diverse rette in diversi sistemi sullo stesso piano. Equazione della retta: per due punti; per un punto e parallela/perpendicolare ad una retta di equazione assegnata. Formula per la distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Circonferenze e loro equazioni. Parabole con asse parallelo all'asse delle ordinate e loro equazioni. Determinazione del vertice di una parabola. Iperboli equilatere riferite agli assi e loro equazioni. Interpretazione geometrica di un sistema di equazioni in due variabili. Trasformazione di coordinate. Rappresentazione analitica di alcune semplici trasformazioni del piano: traslazioni, omotetie, rotazioni, …

Funzioni Linguaggio elementare delle funzioni. Dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive suriettive e biettive. Funzioni reali di variabile reale e loro grafici. Grafici delle funzioni: potenza, logaritmo, esponenziale e valore assoluto. Composizione di funzioni. Composizione di una funzione con una funzione lineare ed effetto sul grafico. Funzioni inverse.

Geometria Euclidea Punti, rette, segmenti e piani. Incidenza, parallelismo e perpendicolarita' tra rette nel piano. Criteri di congruenza dei triangoli. La somma degli angoli interni di un triangolo e' un angolo piatto. Triangoli rettangoli e teorema di Pitagora e di Euclide. Quadrilateri: quadrati, rettangoli, rombi, trapezi. La circonferenza e il cerchio. Poligoni regolari, circonferenze iscritte e circoscritte. Perimetro e area delle principali figure piane. Il problema della rettificazione del cerchio e il calcolo approssimato di pi greco secondo Archimede. Il problema della trisezione di un angolo, della duplicazione del cubo e della costruzione dei poligoni regolari. Similitudine: teorema di Talete e proprieta' dei triangoli simili. La sistemazione razionale della geometria: dai greci a Hilbert, passando per le geometrie non euclidee. Principali figure nello spazio (rette, piani, piramidi, prismi, parallelepipedi, coni, cilindri e sfere). Volumi dei solidi elementari. Il calcolo del volume della sfera secondo Archimede. Trasformazioni elementari: traslazioni, rotazioni, similitudini.

Trigonometria Misura in gradi e in radianti di un angolo e conversione tra le due. Definizione di seno e coseno di un angolo ottenuti come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo. Formula fondamentale della trigonometria. Grafico qualitativo della funzione seno e coseno.

Statistica Variabile statistica, media e deviazione standard. Istogramma di una variabile statistica. Diagramma di dispersione di una coppia di variabili statistiche. Covarianza e coefficiente di correlazione tra due variabili statistiche. Retta di regressione

Probabilità Probabilita' come misura dell'aspettazione di un evento aleatorio. Semplici casi in cui la probabilita' si calcola come il quoziente tra il numero dei casi favorevoli e il numero di casi possibili (probabilita' classica). Calcolo della probabilita' di eventi aleatori relativi all'estrazione di una pallina da un'urna, all'estrazione di una carta da un mazzo al lancio di uno e due dadi, al lancio di ripetuto di una moneta. Limiti dell'approccio classico. Regola per l'addizione di probabilita' ($A\cap B=\emptyset$ implica $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$), sistemi completi di eventi, il concetto di probabilita' condizionale, regola per la moltiplicazione delle probabilita' $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$, eventi indipendenti, formula per la probabilita' totale ($P(K)=\sum P(K\cap A_i)\cdot P(A_i)$), teorema di Bayes. Paradossi nel calcolo delle probabilita': paradosso di Simpson, di Monty Hall e paradosso di San Pietroburgo.

Logica e linguaggio In una certa situazione e date certe premesse, stabilire se un'affermazione e' vera o falsa (deduzione). Negare un'affermazione data. Interpretare le locuzioni condizione necessaria, condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente.

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