Indice

Indice (2-3)

Introduzione (5-9)

Equaz.i differ.li ordinarie di 1° ordine. Moltiplicatore (9-20)

Equazione differenziale ottenuta da $\infty^1$ linee piane per eliminazione. Elemento tangenziale. Equivalenza tra una equazione differenziale $y'=\phi(x,y)$, scritta nella forma $Ydx-Xdy=0$ con l'equazione differenziale alle derivate parziali

(1)

\begin{align} X\frac{\partial \omega}{\partial x}+Y\frac{\partial \omega}{\partial y}=0 \end{align}

Interpretazione geometrica delle equazioni che ammettono un moltiplicatore nei termini delle derivate normali alle linee integrali. Applicazione alle linee parallele: se $Ydx-Xdy$ è l'equazione differenziale di una famiglia di linee parallele, $\frac{1}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ è un moltiplicatore. Le traiettorie ortogonali di una famiglia $\infty^1$ di linee soluzioni dell'equazione differenziale $F(x,y,y')=0$ sono le linee integrali di $F(x,y,-1/y')=0$. Le traiettorie ortogonali di un fascio di rette sono cerchi per il centro del fascio. Le traiettorie ortogonali della famiglia delle rette tangenti a una curva sono le evolventi della curva. Modo per costruire l'equazione differenziale delle evolventi con operazioni di eliminazione. Esempio: l'evolvente di una parabola. Traiettorie sotto angolo costante $\theta$ di una $\infty^1$ di rette e relative equazione del moltiplicatore. Esempio, spirali logaritmiche. Se le $\infty^1$ soluzioni di una equazione differenziale ammettono un inviluppo, tale inviluppo è soluzione dell'eq. differenziale. Cauchy: l'inviluppo delle soluzioni generali può essere un elemento della stessa famiglia.

Sulle soluzioni singolari delle equaz.i differ.li di 1° ordine (20-32)

Scoperta di Taylor delle soluzioni singolari. Equazione di Taylor, equazione di Clairaut.

Sui punti singolari delle equaz.i differ.li di 1° ordine, dal punto di vista reale (32-41)

L'equaz. diff. di 1° ord. di Jacobi e le curve W di Klein e Lie (42-53)

Alcune proposizioni geometriche generali sulle equaz.i differ.i di 1° ord.e algebriche e sulle loro linee integrali (54-60)

Estensione del concetto d'integrale. Trasformazioni di contatto nel piano (61-75)

Cenni sui gruppi $\infty^1$ di trasformaz.i puntuali. Trasformaz.i infinitesime (75-80); Applicazioni ai gruppi projettivi. Equaz.e di Riccati (81-86); Equaz.i differ.li di 1° ord.e con dati gruppi monomi di trasf.i puntuali in sé (87-95); Congruenze di linee e sistemi di equaz.i differ.li del 1° ord.e fra 3 variabili (95-100); Equazioni di Monge e di Pfaff. Linee di un complesso (100-110); Equaz.i alle deriv.e parziali del 1° ordine (111-126). Le pagine 148-155 contengono aggiunte riferite alle pagine precedenti.