Programmi

La pagina inclusa "clone:programmi" non esiste (creala adesso)

Proposta sillabus (Paolo Freguglia) - 11 Jan 2014 09:03

Tags:

BOZZA (Paolo Freguglia)
Saperi minimi (sillabo minimale) relativo al passaggio dalla Scuola Media Superiore all'Università.
1. Premessa
L'obiettivo è quello di individuare conoscenze minimali matematiche in entrata, cioè cosa si deve necessariamente conoscere per accedere ai corsi di matematica dei vari corsi di laurea (ovviamente non solo della triennale in matematica). Ciò significa che nello svolgimento delle lezioni di predetti corsi, il docente deve dare per acquisite le nozioni minimali che illustreremo. In tal senso, anche se l'esame di maturità è una prova in uscita, dovrebbero essere privilegiate queste conoscenze minimali piuttosto che altre, sicuramente utili a sapersi, ma che i corsi universitari standard (dalle varie Istituzioni di matematica a Analisi matematica I, Geometria I e Algebra) contengono e sviluppano adeguatamente. Non c'è dubbio che si potrebbe alzare il livello dei background pre-universitari, arrivando appunto a comprendere ad esempio anche le prime nozioni dell'analisi matematica o dell'algebra lineare o altro, ma è necessario essere realistici, tenendo ben presente mediamente la situazione scolastica italiana: le conoscenze matematiche degli allievi che escono da una scuola media superiore nella maggior parte dei casi sono poco acquisite e minimamente consolidate relativamente ad altre conoscenze. Naturalmente ciò non vuol dire che alcune scuole, come il Liceo scientifico, non debbano svolgere programmi più avanzati. E di ciò se ne tiene conto appunto in uscita, con la prova di matematica del relativo esame di maturità. Ma proprio anche in questo caso si dovrà maggiormente verificare l'acquisizione da parte dello studente di quello che noi indichiamo "saperi minimi" in entrata per l'università.
2. Linee guida
I contenuti, come vedremo nel successivo paragrafo, riguardano le cosiddette matematiche elementari, quella matematica che storicamente si sviluppò sino alla seconda metà del Seicento, prima della nascita del calcolo infinitesimale (Newton e Leibniz), ma che seguitò a perfezionarsi sino ai tempi nostri. Includeremo anche argomenti nati in epoca più moderna ormai consolidati come la teoria ingenua degli insiemi. In realtà risulta evidente che qualora non fossero ben acquisite le conoscenze essenziali di cui parleremo, sarebbe difficilissimo affrontare argomenti di analisi e non solo. Si tratta dunque di una propedeuticità vincolante, basilare per comprendere poi altri concetti. Abbiamo tenuto presente anche altre precedenti proposte di sillabo, in particolare Syllabus di Matematica, conoscenze e capacità per l'accesso all'università a cura dell'UMI, (NUMI di Agosto 1999) a cui lavorarono G.Prodi, G. Acascina, A.Bacciotti, P.Marcellini, F.Speranza e V.Villani. Va altresì sottolineato il fatto che anche per quelli studenti medi che non seguiranno nessun corso di matematica all'università, in quanto iscritti a CdS che non prevedono corsi di matematica, una preparazione di base relativa alla matematica elementare ben acquisita, è comunque indispensabile.
Il sillabo di cui al successivo paragrafo, dovrebbe essere svolto nei cinque anni della scuola media superiore. Esso stabilisce una concatenazione di nozioni tra loro dipendenti (ordo), in particolare dal punto 3 al punto 8 (vedi paragrafo successivo). Vanno accentuati gli aspetti metodologici esemplificando semplici dimostrazioni e altrettanto semplici risoluzioni di problemi.
Per quanto riguarda le conoscenze precedenti la scuola media superiore, si danno per scontati il calcolo numerico e letterale (monomi e polinomi algebrici) e nozioni di geometria intuitiva elementare piana e solida.
3. Sillabo minimale di matematica in entrata all'università
Ecco di seguito gli argomenti che dovrebbero costituire il sillabo minimale in entrata all'università, che, come si diceva, dovrebbe essere tenuto ben presente per le prove di maturità.
1. Insiemi (vedi poi anche punto 2). Descrizione ed analisi dell'insieme dei numeri naturali N, operazioni e ampliamenti algebrici a Z e a Q. Loro cardinalità, primo procedimento diagonale di Cantor. Ordinamenti. Incommensurabilità lato diagonale (del quadrato), postulato di Eudosso-Archimede (cenno a grandezze non-archimedee: angoli di contingenza), determinazione di $\pi$. Leggi fondamentali dei numeri reali R, secondo procedimento diagonale di Cantor. Non si dovrebbero introdurre in questa sede gli assiomi di Dedekind o di Cantor. L'obiettivo dovrebbe essere quello di avvertire la necessità dei numeri reali. Altrettanto si dovrebbe accennare alla necessità dei numeri complessi, dando solo le nozioni più essenziali. Aspetti fondamentali della teoria delle proporzioni.
2. Logica enunciativa (tavole di verità). Cenno alla logica dei predicati del primo ordine. Sottolineare la differenza metodologica tra teoremi (dimostrazione) e problemi (soluzione). Algebra degli insiemi e leggi fondamentali dell'algebra di Boole, con riferimento all'algebra dei circuiti (0,1). Collegamenti a nozioni informatiche.
3. Nozioni elementari di statistica.
4. Equazioni e disequazioni algebriche di secondo grado e particolari casi di equazioni di terzo grado, cenno (commento all'enunciato) al teorema fondamentale dell'algebra e al teorema di Abel-Ruffini. Sistemi lineari semplici e loro soluzione, sistemi simmetrici.
5. Nozioni fondamentali sui logaritmi e loro proprietà. Equazioni e disequazioni logaritmiche.
6. Geometria euclidea piana (geometria del triangolo e teoria delle parallele, circonferenza e proprietà, aree e calcolo delle aree applicazioni delle aree [vedi anche punto 3], poligoni e altre figure fondamentali e loro proprietà. Cenni alle geometrie non euclidee. Geometria euclidea solida (la sfera, i solidi, i prismi, cilindri, piramidi e coni e teoremi sui rispettivi volumi). Equivalenza tra figure piane e solide: principio di Cavalieri.
7. Goniometria e trigonometria piana: teoremi fondamentali e risoluzione dei triangoli piani. Cenno alla geometria sulla sfera e alla trigonometria sferica. Equazioni e disequazioni trigonometriche.
8. Funzioni e curve, piano e spazio cartesiani. Rette e coniche. Piano e sfera.
9. Problemi, esercizi e discussioni relativi ai punti precedenti.
4. Argomenti facoltativi in uscita dalla scuola media superiore
Relativamente alla specificità di alcune scuole secondarie superiori, vanno considerati i seguenti argomenti facoltativi, da considerare, a livello valutativo, in subordine rispetto al precedente sillabo. Eccone un elenco possibile:
a) Funzioni reali di variabili reali, nozioni e teoremi di calcolo differenziale e integrale. Da svolgere anche con i relativi significati geometrici.
b) Algebra delle matrici e sistemi lineari. Spazi vettoriali e calcolo vettoriale
c) Probabilità e statistica metodologica, matematica finanziaria
d) Geometria descrittiva e proiettiva (anche con l'aiuto del software CAD).
Sarebbe opportuno svolgere non più di uno di questi precedenti argomenti.
5. Qualche conclusione
Va ribadito che, in funzione dell'esame di maturità, vanno accertate in modo prioritario le nozioni del precedente sillabo. In tal senso dovrebbe essere adeguata la relativa prova di matematica sia scritta sia orale. Ad esempio per scuole come il Liceo scientifico, non sembrerebbe valere la pena accertare in modo troppo puntuale la conoscenza di nozioni dell'analisi, che vanno considerate come argomenti in uscita . Anche se in termini opzionali e facoltativi, come eventuale dato aggiuntivo di valutazione, coloro che sanno bene queste nozioni dovranno appunto essere adeguatamente premiati, istituendo a tal fine una sub- prova ad hoc, da distinguere dalla prova più rigorosa relativa al sillabo. - Comments: 1

Proposta Syllabus (Enrico Rogora) - 26 Nov 2013 08:54

Tags:

Syllabus (Bozza)

Aritmetica
Numeri naturali: somma prodotto e differenza; divisione con resto; massimo comun divisore e minimo comune multiplo; numeri primi e scomposizione in fattori primi.
Numeri interi: somma prodotto, differenza e divisione con resto. L'importanza e la difficolta' del numero zero.
Numeri razionali: operazioni; non unicita' della rappresentazione di un numero razionale come frazione; forma ridotta di una frazione; confronto tra numeri razionali; non esiste un numero razionale il cui quadrato e' uguale e due;
rappresentazione decimale di un numero razionale; decimali finiti e decimali periodici. Rappresentazione dei numeri su una retta con due punti fissati (O e U): procedura per associare un punto ad un numero razionale; procedura per associare una espressione decimale infinita a un punto; ampliamento del campo numerico, considerando le espressioni decimali infinite (con una relazione di equivalenza): numeri reali. Crisi della matematica pitagorica per la scoperta della non commensurabilita' di tutte le coppie di segmenti. Assioma: i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta. Proprieta' delle operazioni sui numeri reali (senza costruzione aritmetica esplicita ma con costruzione geometrica attraverso il prodotto di segmenti). I numeri reali e problemi dell'infinito.
Numeri per contare e numeri per misurare. Incertezza di una misura e rappresentazione del risultato di un misura con un intervallo. Operazioni aritmetiche su misure e propagazione dell'incertezza.
Arrotondamenti e approssimazioni. Potenze (e radici) e proprieta' delle potenze. Notazione scientifica e stime. Ordini di grandezza e logaritmi. Proprietà dei logaritmi.

Combinatoria Disposizioni, combinazioni e permutazioni. Conteggi in insiemi finiti. Proprieta' elementari dei coefficienti binomiali.

Algebra
Manipolazione di espressioni algebriche (polinomiali, razionali e con le radici). Formula per la potenza di un binomio. Concetto di soluzione e di "insieme delle soluzioni" di un'equazione, di una disequazione e di un sistema di equazioni/disequazioni. Interpretazione geometrica. Formule risolutive per le equazioni e disequazioni di primo e secondo grado in una variabile. La ricerca delle formule risolutive delle equazioni algebriche. Algoritmo dicotomico per la ricerca di una soluzione approssimata di un' equazione. Sistemi di due equazioni di primo grado.

Geometria Analitica Sistema di riferimento cartesiano sulla retta e sul piano. Corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti di una retta con riferimento cartesiano. Corrispondenza biunivoca tra coppie di numeri reali e punti di un piano con riferimento cartesiano. Rette e loro equazioni. Significato geometrico di quota e di coefficiente angolare. La stessa equazione corrisponde a diverse rette in diversi sistemi sullo stesso piano. Equazione della retta: per due punti; per un punto e parallela/perpendicolare ad una retta di equazione assegnata. Formula per la distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Circonferenze e loro equazioni. Parabole con asse parallelo all'asse delle ordinate e loro equazioni. Determinazione del vertice di una parabola. Iperboli equilatere riferite agli assi e loro equazioni. Interpretazione geometrica di un sistema di equazioni in due variabili. Trasformazione di coordinate. Rappresentazione analitica di alcune semplici trasformazioni del piano: traslazioni, omotetie, rotazioni, …

Funzioni Linguaggio elementare delle funzioni. Dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive suriettive e biettive. Funzioni reali di variabile reale e loro grafici. Grafici delle funzioni: potenza, logaritmo, esponenziale e valore assoluto. Composizione di funzioni. Composizione di una funzione con una funzione lineare ed effetto sul grafico. Funzioni inverse.

Geometria Euclidea Punti, rette, segmenti e piani. Incidenza, parallelismo e perpendicolarita' tra rette nel piano. Criteri di congruenza dei triangoli. La somma degli angoli interni di un triangolo e' un angolo piatto. Triangoli rettangoli e teorema di Pitagora e di Euclide. Quadrilateri: quadrati, rettangoli, rombi, trapezi. La circonferenza e il cerchio. Poligoni regolari, circonferenze iscritte e circoscritte. Perimetro e area delle principali figure piane. Il problema della rettificazione del cerchio e il calcolo approssimato di pi greco secondo Archimede. Il problema della trisezione di un angolo, della duplicazione del cubo e della costruzione dei poligoni regolari. Similitudine: teorema di Talete e proprieta' dei triangoli simili. La sistemazione razionale della geometria: dai greci a Hilbert, passando per le geometrie non euclidee. Principali figure nello spazio (rette, piani, piramidi, prismi, parallelepipedi, coni, cilindri e sfere). Volumi dei solidi elementari. Il calcolo del volume della sfera secondo Archimede. Trasformazioni elementari: traslazioni, rotazioni, similitudini.

Trigonometria Misura in gradi e in radianti di un angolo e conversione tra le due. Definizione di seno e coseno di un angolo ottenuti come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo. Formula fondamentale della trigonometria. Grafico qualitativo della funzione seno e coseno.

Statistica Variabile statistica, media e deviazione standard. Istogramma di una variabile statistica. Diagramma di dispersione di una coppia di variabili statistiche. Covarianza e coefficiente di correlazione tra due variabili statistiche. Retta di regressione

Probabilità Probabilita' come misura dell'aspettazione di un evento aleatorio. Semplici casi in cui la probabilita' si calcola come il quoziente tra il numero dei casi favorevoli e il numero di casi possibili (probabilita' classica). Calcolo della probabilita' di eventi aleatori relativi all'estrazione di una pallina da un'urna, all'estrazione di una carta da un mazzo al lancio di uno e due dadi, al lancio di ripetuto di una moneta. Limiti dell'approccio classico. Regola per l'addizione di probabilita' ($A\cap B=\emptyset$ implica $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$), sistemi completi di eventi, il concetto di probabilita' condizionale, regola per la moltiplicazione delle probabilita' $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$, eventi indipendenti, formula per la probabilita' totale ($P(K)=\sum P(K\cap A_i)\cdot P(A_i)$), teorema di Bayes. Paradossi nel calcolo delle probabilita': paradosso di Simpson, di Monty Hall e paradosso di San Pietroburgo.

Logica e linguaggio In una certa situazione e date certe premesse, stabilire se un'affermazione e' vera o falsa (deduzione). Negare un'affermazione data. Interpretare le locuzioni condizione necessaria, condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente. - Comments: 0


Salvo diversa indicazione, il contenuto di questa pagina è sotto licenza Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License