Proprietà

Figura 1
Scomposizione di un semicerchio;
La somma delle semicirconferenze appartenenti alle due circonferenze minori è uguale alla circonferenza maggiore;
Le 2 circonferenze interne sono tangenti alla circonferenza esterna. Relazioni tra le aree dei cerchi;
La costruzione geometrica rappresenta una semicirconferenza in cui sono inscritti due semicirconferenze (una più grande e una più piccola) tangenti tra di loro e anche alla semicirconferenza esterna. Mi ricorda un po' le lunule;
Problemi di equiestensione; misura superfici; parti del cerchio e della circonferenza;
AC=1/4AB;
AB=AC+BC. Area del cappello … Spunto per lavoro sulle aree per sottrazione.
Semicerchio di raggio R con due semicerchi di raggio R/2 e 3R/2;
Le semicirconferenze sono tangenti e la somma delle semicirconferenze interne è uguale alla semicirconferenza esterna

Figura 2
Triangoli inscritti;
Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco hanno stessa ampiezza; il segmento PQ è suddiviso in PX=QY e XM=MQ (M è il suo punto medio);
DAM e CMB sono simili;
All'interno di un cerchio sono disegnate due corde (AB e CD) che si intersecano nel punto M. Si individuano due coppie di angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco e che pertanto sono congruenti. Dal punto M è condotta un'ulteriore corda che sembrerebbe passare per il punto medio del segmento AD (punto X, ma non è detto che sia il punto medio) e che interseca la circonferenza nei punti P e Q;
Parti della circonferenza e del cerchio: arco, corda, segmento circolare; punto medio corda e perpendicolare, ricerca centro circonferenza; angoli alla circonferenza.
BM=BY; M punto medio di PQ; XM=AY
M punto medio di PQ. MX=MY, XP=YQ. L'angolo in A e l'angolo in C sono congruenti perché insistono sullo stesso arco. Per lo stesso motivo anche l'angolo in D e in B sono congruenti. Gli angoli opposti al vertice M sono congruenti perché opposti al vertice. I due triangoli AMD e CMB sono simili;
Vedo e riconosco una costruzione geometrica con corde e angoli alla circonferenza ma non riesco a individuare alcuna relazione.
I triangoli interni al cerchio sono simili a coppie e i rettangoli costruiti sui segmenti staccati dal punto M sulle corde passanti per esso sono equivalenti;

Figura 3
Triangoli circoscritti;
L’incentro: il centro della circonferenza inscritta in un triangolo;
Triangolo ABC circoscritto alla circonferenza dato che le bisettrici si incontrano tutte in un punto detto incentro che coincide con centro della circonferenza - circonferenza circoscritta, tangenti, triangoli simili;
Il centro della figura è un triangolo scaleno sul quale sono rappresentate sia le bisettrici degli angoli interni, sia le bisettrici degli angoli esterni, sia i prolungamenti dei lati. Le bisettrici degli angoli interni si incontrano nell'incentro, centro della circonferenza inscritta nel triangolo (e disegnata infatti) mentre le bisettrici degli angoli esterni si incontrano a due a due con la bisettrice dell'angolo interno non adiacente ad essi in un unico punto detto excentro (M, K e L rispettivamente), centro della circonferenza ex-circoscritta al triangolo ma non riportata nella figura;
Poligoni circoscritti; enti e punti notevoli; tetraedro; simmetria; settore circolare;
Le rette passanti per CK, AL, BM sono bisettrici (il triangolo è circoscritto);
I punti MKL rappresentano i centri delle circonferenze tangenti ai prolungamenti dei lati del triangolo ABC e sono individuati dall'incrocio tra due perpendicolari alle bisettrici e la bisettrice. Le tre rette identificano all'interno del triangolo ABC una serie di triangoli rettangoli;
Triangolo generico ABC costruzione di bisettrici, incentro, circonferenza inscritta. Costruzione di un triangolo grande con vertici che sono i punti di intersezione delle precedenti bisettrici con rette parallele ai lati del triangolo iniziale e passanti per i vertici opposti;
Le tre circonferenze esterne sono tangenti rispettivamente ai lati del triangolo e ai prolungamenti degli altri due, la circonferenza interna è tangente ai lati del triangolo e i segmenti passanti per i centri delle circonferenze esterne e per il vertice opposto al lato di tangenza passano per il centro della circonferenza tangente internamente al triangolo;

Figura 4
Rette tangenti;
L’altezza dei due “cristallini” delimitata dalle rette di entrambe le circonferenze passante per il centro è uguale;
Ci sono due circonferenza di diametri diversi ed esterne una all'altra. Dal centro di ciascuna delle due sono condotte le due rette tangenti all'altra circonferenza. I punti di intersezione di dette tangenti con le rispettive circonferenze individuano due corde di diversa lunghezza e quindi due segmenti circolari diversi che sono uno di fronte l'altro come iridi di due occhi che si guardano;
Proprietà cerchio e circonferenza, punto esterno e tangenti ;segmento circolare; simmetria assiale; angoli opposti al vertice; settore circolare;
Il centro di ogni circonferenza coincide con il punto d'incontro delle tangenti dell'altra.
Dal centro delle circonferenze partono le tangenti alla circonferenza opposta. Le tangenti identificano due archi di circonferenza che potrebbero essere proporzionali alla circonferenza opposta.
Due circonferenze con rette che partono dal centro di una circonferenza e sono tangenti all'altra;
Le quattro rette sono le tangenti ad un cerchio passanti per il centro dell'altro cerchio e le corde individuate su ognuno dei cerchi dalle rette tangenti hanno la stessa lunghezza;

Figura 5
Triangoli equilateri;
I triangoli costruiti sul triangolo ABC sono equilateri e lo è anche il triangolo GHI;
Costruendo sui tre lati di ABC tre triangoli equilateri, i relativi baricentri sono vertici di un triangolo equilatero;
La figura geometrica di base è il triangolo scaleno ABC, all'esterno di ciascun lato sono riportati tre triangoli equilateri aventi chiaramente dimensioni diverse. I centri di questi triangoli equilateri sono i punti G, H e I che uniti formano un nuovo triangolo equilatero, intermedio, come grandezza, tra quelli costruiti sui lati del triangolo ABC.
Triangoli equilateri e punti notevoli.
I triangoli ABF, BCD, ACE, IGH sono equilateri.
ABC triangolo scaleno? Sui lati del triangolo ABC sono stati costruiti tre triangoli equilateri. Il triangolo GHI non capisco come si è costruito.
All'esterno di un generico triangolo ABC sono costruiti dei triangoli equilateri. Un ultimo triangolo è costruito con i vertici in punti interni ai triangoli equilateri, probabilmente i baricentri;
I triangoli costruiti sui lati del triangolo ABC sono equilateri, come lo è anche il triangolo individuato dai loro centri;

Figura 6
Rette tagliate da trasversali;
Le tre rette colorate (rossa, blu e verde) sono rette opposte al vertice e i tre vertici cadono sulla retta tratteggiata, le due rette che si intersecano in O incontrano nei punti a,b,c e A,B,C le tre rette colorate formando angoli congruenti;
Credo che la costruzione parta dalle due rette nere incidenti nel punto O. Si considera poi il punto A sulla prima retta e un altro punto casuale indicato con a sull'altra retta e da questi punti vengono condotte due rette incidenti e perpendicolari alle rette nere di partenza. Queste rette, colorate in rosso, incontrano le due rette nere rispettivamente nei punto B e b. Da questi due punti vengono condotte le rette verdi costruite in modo da passare per uno dei punti precedenti (B e b) ed essere perpendicolari alla retta a cui il suddetto punto appartiene. Le rette verdi intersecano le rette nere rispettivamente nei punti C e c. Ora la costruzione si completa congiungendo i punti A e c e i punti a e C rispettivamente formando una coppia di rette (colorate in blu) perpendicolari tra loro. Inoltre i punti di intersezione di ciascuna coppia di rette dello stesso colore sono allineati e quindi appartengono tutti ad un'unica retta che è quella tratteggiata di nero nella figura;
Le rette nel piano: parallelismo, incidenza; angoli; parallele tagliate da una trasversale e proprietà degli angoli formati.
Le rette blu sono perpendicolari;OA=Oa.
Due rette incidenti in O, tre punti su ciascuna retta A,B,C e a,b,c. Per ogni punto su una retta sono tracciate due rette passanti per i due punti non omonimi sull'altra retta.
Su ognuna delle rette nere sono scelti tre punti diversi dal punto comune e da ciascuno di essi vengono condotte due rette passanti per i due punti non omologhi dell'altra; esse si intersecano a coppie in tre punti allineati; le due rette blu sono tra loro ortogonali;

Figura 7
Triangoli simili;
Il segmento AM è congruente al segmento NC, AM è la terza parte del cateto AB. Il triangolo BMN e il quadrilatero AMNC sono equivalenti;
Il triangolo di partenza è anche in questo caso ABC e sembra essere rettangolo nel vertice A. Gli altri due punti M, appartenente ad AB, e N, appartenente a BC, sembrano non siano stati scelti in maniera particolare ma casualmente ed uniti formano il triangolo in rosso BMN. A mio avviso è la figura più semplice esteticamente ma di più difficile interpretazione geometrica probabilmente;
Problemi equicomposizione.
Il triangolo ABC è rettangolo.
un generico triangolo ABC subbiviso in due parti, un altro triangolo e un quadrilatero ma non capisco come

Figura 8
Triangoli simili e rette tagliate da trasversali;
Il parallelogramma CFEH incontra in E il punto medio del segmento AB, in F il punto medio del lato CB del triangolo CB? E in H il punto medio del lato AD. Il triangolo EFB è un triangolo rettangolo.
Sono dati due segmenti: AB obliquo e CD verticale incidenti in un punto. Unendo C con B e A con D si vengono a formare i due triangoli colorati di rosso della figura. A questo punto credo che la costruzione proceda così: si considera E, punto medio di AB, G, punto medio di CD, F, punto medio di BC e H, punto medio di AD. Unendo E, G, F e H si forma un parallelogramma;
Triangoli, quadrilateri, angoli opposti al vertice.
EFGH è un parallelogramma.
EFGH parallelogramma, ma i punti non capisco come siano stati posizionati e in che relazioni siano. I due triangoli hanno l'angolo opposto al vertice in comune.
quattro punti A,B,C,D uniti in un certo modo. Un quadrilatero che forse è un parallelogrammo è costruito prendendo i punti medi dei segmenti che uniscono i punti.
Due triangoli sono costruiti su angoli opposti al vertice, vengono scelte coppie di punti su coppie di lati dei triangoli e il quadrilatero da essi individuato è un parallelogramma:

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